Den store gevinst
er simpel matematik

Drømmer du om at betale huslånet ud, købe en ny bil kontant eller rejse til verdens ende uden lommesmerter? Så skal du læse med her, inden du går i kiosken for at hente en Lotto-kupon i håb om den store gevinst. Måske kan du lære at regne den ud.

Af Mogens Steffensen, professor i forsikringsmatematik, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Danskerne spiller pengespil som aldrig før. Hvert år taber voksne danskere i gennemsnit cirka 2.000 kroner i pengespil. Det dækker over store forskelle mellem de, der spiller mest, og den fjerdedel, der aldrig spiller.
Hvert år taber voksne danskere i gennemsnit cirka 2.000 kroner i pengespil Den del af indsatsen, der ikke bliver tabt, bliver betalt tilbage som præmier. Men der er meget store forskelle mellem de forskellige pengespil på, hvor stor en del af indsatsen, der går til præmier. Ligesom der er meget store forskelle på, hvordan det enkelte spil sælger drømmen om den store gevinst.

Alle pengespil som for eksempel roulette, Lotto og Oddset har en tilbagebetalingsprocent på mindre end 100 procent. Det betyder, at spiller man for 100 kroner, er den forventede gevinst mindre end 100 kroner. Hvis det var anderledes, var der ingen, der ville udbyde spillet. 

Vi angiver nedenfor tilbagebetalingsprocenter i procent eller som brøk, men vi tillader os konsekvent at kalde dem tilbagebetalingsprocenter.

Tilbagebetalingsprocenten ændrer sig ikke i roulette
På en europæisk roulette er tilbagebetalingsprocenten 36/37. Det gælder uanset, hvordan man spiller. Der er nemlig 37 lige store felter med tal fra 0 til 36, og man vinder altså på et tal med sandsynligheden 1/37. Da man ved gevinst på et tal får indsatsen 36 gange igen, bliver tilbagebetalingsprocenten 1/37*36=36/37. Det betyder, at spiller man for 100 kroner, er den forventede tilbagebetaling 36/37*100 kroner = cirka 97 kroner. 
På en europæisk roulette er tilbagebetalingsprocenten 36/37 uanset, hvordan man spiller.
Men også ved spil på flere tal er gevinsten beregnet, så tilbagebetalingsprocenten bliver netop 36/37. For eksempel får man indsatsen tre gange igen ved gevinst på de 12 tal fra 1 til 12 og dermed bliver tilbagebetalingsprocenten 12/37*3=36/37. Igen får man altså 36/37*100 kroner = cirka 97 kroner tilbagebetalt i forventning ved en indsats på 100 kroner. På en amerikansk roulette er der faktisk 38 felter. Ud over 0 til 36 er der også feltet 00. Derved bliver tilbagebetalingsprocenten 36/38, som er lavere end 36/37. 

Det kan være en god forretning
Når tilbagebetalingsprocenten altid er den samme, kan man spørge sig selv, om man kan spille godt på roulette? Det umiddelbare svar er: ”Nej, alle spil er lige dårlige”. Og det er da også rigtigt, hvis målet er at opnå en høj tilbagebetalingsprocent. 

Men der kan være andre mål. Når man skal svare på, hvilke strategier der er gode i forhold til andre, må man først forholde sig til, hvad man overhovedet mener med godt. 

Måske har man 100 kroner, men ønsker at købe en telefon til 3.600 kroner. Man ønsker sig det så brændende, at man er villig til at risikere de 100 kroner. Man går på kasinoet og overvejer hvilken strategi, der nu giver den største chance for at få råd til telefonen. Så har man netop defineret, hvad man mener med godt: Jo større telefonchance desto bedre. 

Lad os nu betragte tre forskellige strategier:

  • Én strategi er at sætte de 100 kroner på tallene 1-6. Hvis man vinder, får man indsatsen 6 gange igen og placerer så igen hele gevinsten på 600 kroner på tallene 1-6. Efter to spil med gevinst har man 3.600 kroner eller 0 kroner, afhængigt af udfaldet i de to spil. Telefonchancen er 6/37*6/37=2,63 procent, fordi sandsynligheden for gevinst hver gang er 6/37 og de to gevinstsandsynligheder skal ganges med hinanden.
  • En anden strategi er at lægge 50 kroner i lommen og starte spillet ovenfor med at sætte 50 kroner på sort. Ved udfaldet sort, vinder man 100 kroner, som man bruger til at starte spillet ovenfor. Hvis man vinder, står man altså med 50 kroner i lommen plus 50 kroner*2*6*6, som er gevinsten =3.650 kroner. Sandsynligheden for at få råd til telefonen er så 18/37*6/37*6/37=1,28 procent. Til gengæld, hvis man taber, har man dog stadig 50 kroner.
  • Endelig er en tredje strategi at sætte sine 100 kroner på ét tal og vinde indsatsen på 100 kroner 36 gange igen, altså netop 3.600 kroner. Telefonchancen er nu 1/37=2,70 procent.
Det er altså den tredje strategi, der giver den største telefonchance. Man kan faktisk konkludere, at det er det bedste spil overhovedet, hvis målet udelukkende er at maksimere telefonchancen. Pointen er, at det kan godt være, at man kan spille godt på roulette, hvis ens mål for, hvad der er godt, er noget andet end tilbagebetalingsprocenten, for eksempel chancen for at få råd til en telefon. 

Det optimale spil afhænger selvfølgelig af, hvor mange penge man har i forhold til, hvor meget ens ønske koster. For eksempel er det oplagt, at hvis man ønsker sig en kasket til 100 kroner, er det optimalt at blive væk fra rouletten, fordi det giver sandsynligheden 1 for at få råd. Derimod vil man, hvis man spiller, uanset hvordan man spiller, få råd til kasketten med en sandsynlighed, der er mindre end 1.

Undslip store tals lov
Men hvilke grundlæggende principper fører til konklusionen ovenfor? Det korte svar er store tals lov

Den stifter mange bekendtskab med allerede tidligt i folkeskolens statistikpensum, hvor man viser med terninger eller mønter, hvordan et gennemsnit går mod middelværdien, når man gentager et forsøg mange gange. 
Det gælder om at undslippe store tals lov ved at spille få spil, men netop nok til at nå målet.
I vores tilfælde er konsekvensen af
store tals lov, at i det lange løb taber man sine penge til kasinoet og ødelægger altså muligheden for at få råd til en telefon. Derfor gælder det om at undgå det lange løb. Det gælder om at undslippe store tals lov ved at spille få spil, men selvfølgelig netop nok til at nå målet. I eksemplet ovenfor var det altså nok at sprede sig ud over to spil i stedet for et, for at telefonchancen faldt fra 2,70 procent til 2,63 procent. 

Men hvad med strategien, hvor man kun spiller for 50 kroner? Ud over at vi her spiller op til tre spil, er det også et problem, at man i forhold til sit mål spilder 50 kroner. Uanset om man vinder og står med 3.650 kroner eller taber og står med 50 kroner, er 50 kroner af de penge, som man har, ikke til gavn i forhold til målet. 

Og dog…

I tilfælde af tab, kan man selvfølgelig med de 50 kroner i lommen forsøge sig med en ny runde spil svarende til den første. Nu kommer telefonchancen op på 1,28 procent (sandsynligheden for gevinst i første spil) + (100 procent -1,28 procent) (sandsynligheden for tab i første spil) * 1,28 procent (sandsynligheden for gevinst i andet spil) = 2,54 procent. Ud over at vi ved gevinst i et af de to forløb står med et overskud i forhold til målet på 50 kroner, er der igen det problem, at indsatsen er fordelt på mange spil og vi har gjort os selv unødvendigt sårbare over for store tals lov. Så telefonchancen er altså faldet fra de optimale 2,70 procent til 2,54 procent.

Underholdning koster på bundlinjen
Måske er det temmelig urealistisk at gå på kasino udelukkende for at maksimere sandsynligheden for at vinde et bestemt beløb. Nogle mennesker føler sig underholdt af den spænding, det giver at følge kuglen springe rundt på felterne, mens man har noget på højkant. I den situation skal man måske ikke spille så aggressivt som den sandsynlighedsmaksimerende spiller ovenover, eftersom han kun spiller med i ét spil. De andre spillere får op til to eller seks spil, men de betaler til gengæld for underholdningen med noget af telefonchancen. 

Hvis underholdningen tæller med, har vi netop indført andre mål for, hvad der er godt. For eksempel at spille længe, og så kan man igen få andre resultater. Vi har set, at tilbagebetalingsprocenten kun er ét mål blandt mange, at andre mål kan føre til en rangordning af forskellige spilstrategier, og at hvis du gerne vil opnå en formue med en sandsynlighed så stor som mulig, skal du spille få gange med store beløb for at undslippe store tals lov, der arbejder imod dig, så længe tilbagebetalingsprocenten er mindre end 100 procent.

Spænding koster endnu mere
Vi har nu vendt og drejet forskellige spilstrategier på rouletten. Men hvordan kan vi sammenligne rouletten med andre former for pengespil? 

Rouletten udmærker sig faktisk ved at have en usædvanligt høj tilbagebetalingsprocent. Til gengæld kan man sige, at der også er grænser for, hvor meget man kan vinde. 

Med de 3.600 kroner i hånden kan man få sig en telefon, men det ændrer måske ikke tilværelsen. Hvor er den spænding, der kommer af potentielt at kunne vinde millioner af kroner og opgradere bilen, huset, eller levestandarden generelt? 

Ligesom man kan diskutere, hvad målet er for godt, kan man diskutere, hvilket kvantitativt mål, man skal bruge for spænding. Den største gevinst er et ekstremt simpelt bud og gevinstens størrelse vil i hvert fald have stor betydning i de fleste mål for spænding, man kan bruge. Vi kan nu med 100 kroner på lommen se på, hvilke muligheder vi har.

Vi kunne spille Lotto. Her er der ikke nogen maksimal gevinst, men lad os sige, at vi potentielt kan vinde 10 millioner kroner. Så tilbyder dette spil målt på gevinststørrelsen unægtelig en langt højere spænding end roulettespillet. 
Tilbagebetalingsprocenten i Lotto er på bare 45 procent. Men vi tiltrækkes af den store gevinststørrelse. Spildesigneren ved godt, at lottospillet er meget attraktivt på gevinststørrelsen. Derfor behøver Lotto ikke at have en så stor tilbagebetalingsprocent som rouletten for at konkurrere om spillernes indsatser. Lottos tilbagebetalingsprocent er på bare 45 procent. Det vil sige, at køber man Lotto for 100 kroner, betales bare 45 kroner tilbage som præmier. Alligevel tiltrækker det spillere på grund af den store gevinststørrelse. I den relation udgør roulettespillet og Lotto på flere måder to ekstremer på markedet. Ind imellem disse ekstremer har spildesignerne lavet en masse alternative spil for at tilfredsstille enhver spillertype.

Hård konkurrence på spilmarkedet
Hos sportsbetting-firmaerne kan man få tilbagebetalingsprocenter på 90-95 procent. Oddset fra Danske Spil ligger også på det niveau. Hvis de lå lavere, ville de blive udkonkurreret. Spilmulighederne tilbyder odds, altså hvor mange gange en indsats udbetales, på typisk mellem 1 og 10. Man kan kombinere spillene og øge odds, men så falder tilbagebetalingsprocenten tilsvarende, fordi man skal gange de 90-95 procent med sig selv for hvert spil, man kombinerer.

Der er altså store variationsmuligheder, men med få spilkombinationer får man høje tilbagebetalingsprocenter og relativt lave odds, altså spil, der minder mere om roulette end om Lotto. Hertil kan selvfølgelig komme naive spilleres blinde tro på, at de har mere forstand på fodbold, end de specialister som betting-firmaerne betaler løn for det samme.

Mellem sportsbetting og Lotto er der en stor sky af skrabe- og quickspil. Her kan man vinde typisk mellem 50.000 og 1 million kroner med en tilbagebetalingsprocent på mellem 55 og 75 procent. Disse spil kiler sig ind mellem rouletten og oddset på den ene side og Lotto på den anden side i forhold til både tilbagebetalingsprocent og gevinststørrelse. 

I samme forbindelse skal også nævnes lotterierne som Klasselotteriet og Landbrugslotteriet. De ligger faktisk med både højere gevinststørrelser og højere tilbagebetalingsprocenter end skrabe- og quickspillene. Til gengæld er de ikke lige så lettilgængelige, og man spiller typisk for et fast beløb om måneden over et længere stykke tid. Fordi skrabe- og quickspillene - og Lotto - også er tilgængelige for den impulsive spiller, kan de begå sig fint i konkurrencen fra lotterierne.

Statsmonopolet bestemmer
Spildesignerne er helt klar over spilmønstrene hos spillerne og over det forhold, at et spil for at begå sig på markedet enten skal være attraktivt gennem høje tilbagebetalingsprocenter eller gennem store gevinstmuligheder eller en god balance mellem de to attraktioner. 

Men hvorfor designer man ikke bare et spil med høj tilbagebetalingsprocent og stor gevinstmulighed? 

Det kunne man i princippet også godt gøre, men så støder man ind i et statsmonopol. Lotto er så attraktivt i form af den store gevinstmulighed, at Danske Spil kan nøjes med en lav tilbagebetalingsprocent og samtidig sørge for både skatter til staten og penge til idrætsforeningerne. Derfor blev Lotto undtaget, da spillemarkedet blev delvist liberaliseret tilbage i 2012. Liberaliseringen handlede især om at tillade et frit marked for sportsbetting. Her er odds begrænsede, så derfor skal tilbagebetalingsprocenten være høj, for at spillet er attraktivt. 

På denne type spil har staten indvilliget i konkurrence, blandt andet fordi det ikke rigtigt kunne betale sig at bekæmpe de internationale sportsbettingfirmaer med monopolisme, når der nu alligevel ikke er mange penge tilbage til idrætsforeningerne, når først de store tilbagebetalingsprocenter er udbetalt. Det forklarer også, hvorfor Danske Spil blev kritiseret i 2015 for sloganet ’til glæde og gavn’. Hvis gavn hentød til udlodningen til idrætsforeningerne, var det vildledende som slogan for hele Danske Spil, når kun Lotto og ikke sportsbetting kunne siges at være til gavn.

Et sidste tip!
Man kan selv designe et spil med høj tilbagebetalingsprocent og stor gevinstmulighed: Tag de 100 kroner og placer dem på et tal på rouletten. Ved gevinst placeres de 3.600 kroner på et nyt tal. Ved gevinst placeres de 36*3.600 kroner = 129.600 kroner på et nyt tal. Ved gevinst står man med 4.665.600 kroner med en tilbagebetalingsprocent på 36/37*36/37*36/37=92 procent. 

Det er dog ikke en helt fair sammenligning med de allerede nævnte spil. 

For det første giver kasinoet slet ikke lov til – selv om man har is i maven og gerne vil – at man placerer 129.600 kroner på et tal. Det er simpelthen for dyrt for dem, hvis nu man skulle være så heldig at vinde.
100 kroner for fire rigtige i Lotto får os bare til at prøve igen og igen og igen…
For det andet er der i dette spil ikke nogen såkaldt sekundære gevinster for at være
tæt på på samme måde, som der er i Lotto og på lotterierne. De mest sekundære gevinster, som 100 kroner for fire rigtige i Lotto, giver dog ikke meget spænding, men minder blot spilleren om, at han kan vinde. Så han kommer tilbage og spiller. Igen. Og igen. Og igen…